接近，矩形面积的和与“曲线下方”的面积的差也会越来越小。实际上，这就是黎曼积分定义的大概描述。 严格定义如下： S {\displaystyle S} 是函数 f {\displaystyle f} 在闭区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上的黎曼积分，当且仅当对于任意的。
梯度定理（英语：gradient theorem），也叫线积分基本定理，是说标量场梯度沿曲线的积分可用标量场在该曲线两端的值之差来计算。 设函数 φ : U ⊆ R n → R {\displaystyle \varphi :U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb。
ti du ding li （ ying yu ： g r a d i e n t t h e o r e m ） ， ye jiao xian ji fen ji ben ding li ， shi shuo biao liang chang ti du yan qu xian de ji fen ke yong biao liang chang zai gai qu xian liang duan de zhi zhi cha lai ji suan 。 she han shu φ : U ⊆ R n → R { \ d i s p l a y s t y l e \ v a r p h i : U \ s u b s e t e q \ m a t h b b { R } ^ { n } \ t o \ m a t h b b 。
在数学中的曲线微分几何的研究中，一个浸入在平面上的曲线的总曲率是曲率的曲线积分： ∫ a b k ( s ) d s . {\displaystyle \int _{a}^{b}k(s)\,ds.} 闭曲线的总曲率是 2π 的整数倍，该整数称为曲线的指数或转数。其中转数是单位切向量关于起点的绕数，或者等价的高斯映射的次数。。
在物理学与数学中，格林定理给出了沿封闭曲线 C 的线积分与以 C 为边界的平面区域 D 上的双重积分的联系。格林定理是斯托克斯定理的二维特例，以英国数学家乔治·格林（George Green）命名。 设闭区域 D {\displaystyle D} 由分段光滑的简单曲线 L {\displaystyle。
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路径积分可能指的是： 曲线积分，数学上沿一条曲线积分，尤其是复平面上的闭合曲线。 路径积分表述，一种量子力学表述。。
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由于列表比较长，积分表被分为以下几个部分： 有理函数积分表 无理函数积分表 指数函数积分表 对数函数积分表 高斯函数积分表 三角函数积分表 反三角函数积分表 双曲函数积分表 反双曲函数积分表 ∫ ( a x + b ) n d x = ( a x + b ) n + 1 a ( n + 1 ) +。
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柯西积分定理（或称柯西－古萨定理），是一个关于复平面上全纯函数的路径积分的重要定理。柯西积分定理说明，如果从一点到另一点有两个不同的路径，而函数在两个路径之间处处是全纯的，则函数的两个路径积分是相等的。另一个等价的说法是，单连通闭合区域上的全纯函数沿着任何可求长闭合曲线的积分是0. 设 Ω {\displaystyle。
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数学上，曲面积分，也称为面积分（英语：Surface integral），是在曲面上的定积分（曲面可以是空间中的弯曲子集）；它可以视为和线积分相似的双重积分。给定一个曲面，可以在上面对标量场（也就是实数值的函数）进行积分，也可以对向量场（也就是向量值的函数）积分。 面积分在物理中有大量应用，特别是在电磁学的经典物理学中。。
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在数学中，线积分（英语：Line integral）是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间，而是被称为积分路径的特定曲线。 在曲线积分中，被积的函数可以是标量函数或向量函数。当被积函数是纯量函数时，积分的值是积分路径各点上的函数值乘上该点切向量的长度，在被积分函数是向量函数时，积分值是积分向量函数与曲线。
量子力学和量子场论的路径积分表述（英语：path integral formulation或functional integral）是一个从经典力学里的作用原则延伸出来对量子物理的一种概括和公式化的方法。它以包括两点间所有路径的和或泛函积分而得到的量子幅来取代经典力学里的单一路径。 路径积分。
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广义积分，又称为反常积分、异常积分（英语：Improper integral ），是对普通定积分的推广。 广义积分可以分成两类，第一类又称为无穷积分，指积分区间的上限或下限为无穷的积分。第二类称为瑕积分，指被积函数在积分区间中含有不连续点的积分。 第一类反常积分是无穷积分，指积分区间的上限或下限中含有无穷。
曲线的微分几何是几何学的一个分支，使用微分与积分专门研究平面与欧几里得空间中的光滑曲线。 从古代开始，许多具体曲线已经用综合方法深入研究。微分几何采取另外一种方式：把曲线表示为参数形式，将它们的几何性质和各种量，比如曲率和弧长，用向量分析表示为导数和积分。分析曲线最重要的工具之一为 Frenet。
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积分方程是含有对未知函数的积分运算的方程，与微分方程相对。许多数学物理问题需通过积分方程或微分方程求解。 积分方程最基本的形式为第一类弗里德霍姆方程： f ( x ) = ∫ a b K ( x , t ) ϕ ( t ) d t , {\displaystyle f(x)=\int _{a}^{b}K(x。
黎曼积分 达布积分 勒贝格积分 黎曼-斯蒂尔吉斯积分 数值积分 一种确定的实数值 本条目中主要介绍定积分，不定积分的介绍参见不定积分条目，无说明的情况下，下文中的“积分”一词均指“定积分”。 比如说，路径积分是多元函数的积分，积分区间不再是一条线段，而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替。。
n元函数f(x1, x2,。, xn)在定义域D上的多重积分通常用嵌套的积分号按照演算的逆序标识（最左边的积分号最后计算），后面跟着被积函数和正常次序的积分变量（最右边的变量最后使用）。积分域或者对每个积分变量在每个积分号下标识，或者用一个变量标在最右边的积分号下： ∫ 。 ∫ D f ( x 1 , x 2。
f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}} . 中值定理包括微分中值定理和积分中值定理。 微分中值定理分为罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，内容粗略的说是指平面上一段固定端点的可微曲线，两端点之中必然有一点，它的斜率与连接两端点的直线斜率相同（严格的数学表达参见下文）。。
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第十三章 反常积分 §1 积分限为无穷的反常积分 §2 无界函数的反常积分 §3 反常积分的性质与变形 §4 反常积分的特别计算法 §5 反常积分的近似计算 第十四章 依赖于参数的积分 §1 基本理论 §2 积分的一致收敛性 §3 积分一致收敛性的应用 §4 补充 §5 欧拉积分 第十五章 曲线积分、斯蒂尔切斯积分。
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在数值分析中，数值积分（英语：Numerical integration）是计算定积分数值的方法和理论。在数学分析中，给定函数的定积分的计算不总是可行的。许多定积分不能用已知的积分公式得到精确值。数值积分是利用黎曼积分等数学定义，用数值逼近的方法近似计算给定的定积分值。借助于电子计算设备，数值积分可以快速而有效地计算复杂的积分。。
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积分相同。这就是同调群和德拉姆上同调可以配对的基础。 斯托克斯公式可以在对坐标的曲线积分和对面积的面积积分之间相互转换，该公式是格林公式在三维空间的推广，后者表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系，前者则把曲面上的曲面积与沿着的边界曲线的曲线积分联系起来。 Jacques。
∮（曲线积分, U+222E）, ∯（面积分, U+222F）, 以及 ∰（体积分, U+2230）。 在不同的语言中，积分符号的形状会有细微的差别。 在英文数学文献、教科书中，积分符号向右倾斜。 在德文数学文献中，积分符号保持竖直。 在俄文数学文献中，积分符号向左倾斜。 另一处不同点是定积分。
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